☛ Déterminer la solution de y' = ay + b avec une condition initiale

Énoncé

Soit  \((E)\) l'équation différentielle \(2y'+y=2\) , où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(t\) , définie et dérivable sur \(\mathbb R\) et \(y'\) sa fonction dérivée.

1. Résoudre sur \(\mathbb R\) l'équation \((E)\) .
2. Déterminer la solution \(f\) sur \(\mathbb R\)   de \((E)\) vérifiant la condition initiale \(f(0)=1\) .

Solution

1. L'équation s'écrit \(y'=-\dfrac12y+1\) . On a  \(a=-\dfrac12\) et \(b=1\) .
Les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation \((E)\) sont les fonctions définies sur  \(\mathbb R\) et de la forme \(y(t)=k\text e^{-\frac t2}+2\) , où \(k\in\mathbb R\) .

2. On cherche le réel \(k\) tel que \(f(0)=1\) .
\(f(0)=1 \Leftrightarrow k+2=1 \Leftrightarrow k=-1\) .
Donc la solution de \((E)\) vérifiant la condition initiale \(f(0)=1\) est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(t)=-\text e^{-\frac t2}+2\) .